GERAK ROTASI DAN KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

A. Momen Gaya

Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit. Pada katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban.

Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah garis kerja terhadap titik tumpu. Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang t (baca: tau).

Gambar:

Menarik beban menggunakan katrol

t = F . d

Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule.

Momen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut momen gaya positif. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berlawanan arah putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.

Gambar:

Skema permainan jungkat jungkit

Titik 0 sebagai titik poros atau titik acuan.

Momen gaya oleh F1 adalah t1 = + F1 . d1

Momen gaya oleh F2 adalah t2 = – F2 . d2

Pada sistem keseimbangan rotasi benda berlaku resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:

∑ t = 0

Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol.

∑ t = 0

- F2 . d2 + F1 . d1 = 0

F1 . d1 = F2 . d2

Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:

∑ F = 0

Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaan-kesamaan besaran yang dapat dibandingkan simbol besarannya.

Perbandingan dinamika translasi dan rotasi

Translasi


Rotasi

Momentum linier


p = mv


Momentum sudut*


L = I

Gaya


F = dp/dt


Torsi


 = dL/dt

Benda massa

Konstan


F = m(dv/dt)


Benda momen

inersia konstan*


 = I (d/dt)

Gaya tegak lurus

terhadap momentum


F =  x p


Torsi tegak lurus

momentum sudut


 =   L

Energi kinetik


Ek = ½ mv2


Energi kinetik


Ek = ½ I2

Daya


P = F . v


Daya


P =  . 

Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasi

Konsep


Translasi


Rotasi


Catatan

Perubahan sudut


s





s = r.

Kecepatan


v = ds/dt


 = d/dt


v = r.

Percepatan


a = dv/dt


 = d/dt


a = r.

Gaya resultan, momen


F





 = F.r

Keseimbangan


F = 0


 = 0


Percepatan konstan


v = v0 + at


 = 0 + t


s = v0t = ½ at2


 = 0t + ½t2


v2 = + 2as


2 = + 2


Massa, momen kelembaman


m


I


I = miri2

Hukum kedua Newton


F = ma


 = I


Usaha


W =  F ds


W =   d


Daya


P = F.v


P = I 


Energi potensial


Ep = mgy




Energi kinetik


Ek = ½ mv2


Ek = ½ I2


Impuls


 F dt


  dt


Momentum


P = mv


L = I


Contoh

F2

30o

O A

B 37o

F1

Dari gambar di atas, tentukan momen total terhadap poros O. Jarak

OA = 4m dan OB = 8 m, gaya F1 = 10 N, dan F2 = 6 N.

Jawab

Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol,

Untuk gaya F1

r1 = OB = 8 m

Besar momen gaya t1 = F1 sin 1. r1

= 10 . sin 37. 8

= 10 . 0,6 . 8

= 48 N.m

Arah momen gaya t1 searah perputaran jarum jam

Untuk gaya F2

r2 = OA = 4 m

Besar momen gaya t2 = F2 sin 2. r2

= 6 . sin 30. 4

= 6 . 0,5 . 4

= 12 N.m

Arah momen gaya t2 berlawanan arah perputaran jarum jam

Momen gaya total adalah

t = t2 + t2

= 48 + 12

= 60 Nm

Momen Kopel

Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan arah. Kopel yang bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan momen kopel yang mengakibatkan benda berotasi. Momen kopel disimbolkan M

F F F -

+

M F d

d d d

F F F

(a) (b) (c)

Gambar (a) menunjukkan sebuah kopel bekerja pada suatu benda. Untuk

gambar (b) menunjukkan bahwa kopel bertanda positif jika putarannya searah

dengan perputaran jarum jam, tetapi jika perputaran kopel berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, maka kopel bertanda negatif seperti gambar (c).

Jika pada benda bekerja beberapa kopel maka resultan momen kopel total benda tersebut adalah

M = M1 + M2 + M3 + … + Mn

Contoh

F4

F1

P 1m 2m 1m

Q

F3

F2

Jawab:

Batang PQ panjangnya 4m. Pada batang tersebut bekerja empat buah gaya F1 = F3 = 5 N, dan F2 = F4 = 8 N, seperti tampak pada gambar di samping. Tentukan besar dan arah momen kopel pada batang PQ tersebut.

Gaya F1 dan F3 yang berjarak d = 3m membentuk kopel yang arahnya searah perputaran jarum jam (+) dan besarnya:

M 1 = F x d = 5 x 3 = 15 N m

Gaya F2 dan F4 yang berjarak d = 3 m membentuk kopel yang arahnya berlawanan arah perputaran jarum jam (-) dan besarnya:

M 2 = F x d = 8 x 3 =  24 N m

Resultan momen kopel adalah:

M = M1 + M2

= 15 + (  24)

=  9 N m

Tanda negatif (-), menunjukkan bahwa momen kopel resultan

arahnya berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.

Koordinat Titik Tangkap Gaya Resultan

Jika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang XY, maka setiap gaya tersebut dapat diuraikan atas komponen-komponennya pada sumbu-X dan sumbu-Y. Misalkan, komponen-komponen gaya pada sumbu-X adalah F1x, F2x, F3x,…,Fnx, yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-X adalah y1, y2, y3,…,yn .

Sedangkan komponen-komponen gaya pada sumbu-Y adalah F1 y , F 2y , F 3y , …,Fny , yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-Y adalah x1, x2, x3,…,xn . Semua komponen gaya pada sumbu-X dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F x yang jaraknya yo dari sumbu-X, demikian juga semua komponen gaya pada sumbu-Y dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F y yang jaraknya xo dari sumbu-Y.

Koordinat titik tangkap dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut.

xo = =

yo = =

Jadi koornitat titik tangkap (xo,yo)

Contoh

Y

F2=5N

F3=7N

X

Dari gambar di samping, tentukan besar, arah, dan letak titik tangkap resultan.

-3 -1 0 2 3

F1=-3N

F4=-2N

Jawab

Semua gaya sejajar sumbu-Y, gaya ke atas positif dan ke bawah negatif, resultan gaya adalah:

Fy = F1 + F2 + F3 + F4

= -3 + 5 + 7 – 2 = 7 N (arah ke atas)

Letak titik tangkap gaya resultan adalah:

xo =

xo =

xo =

1.

Momen Inersia Benda Tegar

Benda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar tersebut memiliki percepatan sudut  yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi  didefinisikan sebagai berikut.

”Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar (torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut”.

Dirumuskan sebagai berikut.

 =  Fi Ri Sin i atau  = (  mi R2 i ) . 

mi Ri2 disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu.

Dirumuskan:

I =  mi . Ri2

Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen) terhadap percepatan sudut.

Dirumuskan:

I =

maka  = I . 

 = I

Karena  = F . R dan  = I . 

maka  F . R = I . 

Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi roda.

a =  . R

 =

persamaan menjadi :

 F . R = I .

Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogen.

Tabel berikut menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen.

Momen inersia berbagai benda yang umum dikenal

I = ½ M (R12 + R22) I = 1/3 MR2 I = MR2 I = 2/5 MR2 I = 2/3 MR2

Contoh:

1.

Empat buah partikel seperti ditunjukkan pada gambar dihubungkan oleh sebuah batang kaku ringan yang massanya dapat diabaikan. Tentukan momen inersia sistem partikel terhadap proses:

1.
1.

sumbu AA1,
2.

s

A B

1 kg 2 kg 1 kg 3 kg

2 m 2 m 2 m

A1 B1

umbu BB1!

Penyelesaian:

1.

I = Σ mi . Ri2

= m1 R12 + m2 . R22 + m3 R32 + m4 R42

= 1 . 02 + 2 . 22 + 1 . 42 + 3 . 62

= 0 + 8 + 16 + 108

I = 132 kg m2

1.

I = Σ mi Ri2

= m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42

= 1 . 42 + 2 . 22 + 1 . 02 + 3 . 22

= 16 + 8 + 0 + 12

I = 36 kg m2

1.

Empat buah partikel massanya 1kg, 2 kg, 2 kg, 3 kg seperti ditunjukkan pada gambar, dihubungkan oleh rangka melingkar ringan jari-jari 2 meter yang massanya dapat diabaikan.

1.

Tentukan momen inersia sistem terhadap poros melalui pusat lingkaran dan tegak lurus pada bidang kertas!

A

A’

1.

Berapa besar momen gaya harus dikerjakan pada sistem untuk memberikan suatu percepatan  terhadap poros ini ( = 4 )?
2.

Ulangi pertanyaan (a) dan (b) untuk poros AA1!

Penyelesaian:

1.

I = Σ mi Ri2 = m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42

= 3 . 22 + 2 . 22 + 1 . 22 + 2 . 22

= 12 + 8 + 4 + 8

= 32 kg m2

1.

τ = I .  = 32 . 4 = 128 N.m
2.

I = m2 R12 + m2 R22 + m2 R22 + m3 R32 + m4R42

1.

Sebuah benda sistem yang terdiri atas dua bola dengan massa masing- masing 5 kg dihubungkan oleh sebuah batang kaku yang panjangnya 1 m. Bola dapat diperlakukan sebagai partikel dan massa batang 2 kg. Tentukan momen inersia sistem terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melalui

1.
1.

pusat 0, O
2.

salah satu bola!

L = 1 m

Penyelesaian:

1.

I = Σ mi Ri2

I = mA . RA2 + mB . RB2 + 1/12 m . L2

I = 5 . (0,5)2 + 5 . (0,5)2 + 1/12 . 2 . 12

I = 5 . 0,25 + 5 . 0,25 + 1/6

I = 2,5 + 1/6

I = 5/2 + 1/6 = = 16/6

I = 8/3 kg m2

b. I = Σ mi Ri2

I = mA.RA2 + Mb.RB2 + 1/3 .m.l2

I = 0 + 5 . 12 + 1/3 . 2.12

I = 5 + 2/3

I = 5 kg m2

*

Uji Kompetensi I

1.

Seorang tukang cat (massa 55 kg) mengatur papan homogen yang beratnya

60 N dengan kuda-kuda di B dan C seperti pada gambar. Panjang AD = 4 m,

AB = CD = 1 meter. Jarak kaleng cat (2 kg) dari A = 0,5 m. Secara perlahan

ia mengecat sambil menggeser ke kanan. Pada jarak berapa meter dari C dia

dapat menggeser sebelum papan terjungkit ?

A B C D

1.

Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :

a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.

b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C

c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.

1.

Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg  = 3/4.

Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.

1.

Batang AB yang mempunyai panjang 6 m mendapat gaya pada ujung-ujungnya seperti tampak pada gambar. Tentukan besar dan letak gaya resultannya.

1.

Tentukan momen inersia batang yang berputar pada poros berjarak ¼ l dari ujung titik 0

O

-1/4 l +3/4 l

1.

Empat buah benda disusun pada rangka pada sumbu koordinat XY seperti tampak pada gambar di bawah ini. M1=M3 =1kg, M 2 =3 kg, dan M 4 = 2 kg. Tentukan momen inersia sistem jika sumbu putarnya adalah (a) sumbu Y, (b) sumbu yang tegak lurus bidang XY melalui titik O.

Y

M1

2 m


M3

O 3 m M2

3 m

M4

1.

Tentukan momen inersia bola pejal !

*

massa bola m
*

volume bola V = 4/3  R3
*

massa keping = dm
*

volume keping = dV = r2 dx

1.

Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan lengan momen dan momen gaya dari gaya F1 = 100 N dan gaya F2 = 200 N terhadap poros di titik A dan titik C, jika AD = L, AB = L/2, dan AC = 3L/4. D

C

B F2

A 30o F1

1.

Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :

a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.

b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C

c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.

1.

Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg  = 3/4.

Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.

1.
1.

Menghitung Gerak Translasi dan Rotasi

Indikator :

*

Dinamika rotasi benda tegar dianalisis untuk berbagai kondisi
*

Gerak menggelinding tanpa slip dianalisis

C. Momentum Sudut Gerak Rotasi Benda Tegar

Dalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka momentum sudut total L sejajar dengan kecepatan sudut , yang selalu searah sumbu rotasi. Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut . Sehingga dapat dirumuskan :

L = I . 

Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut terhadap titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan V (memiliki momentum P = mv) didefinisikan dengan perkalian vektor,

L = R  P

atau L = R  mV

L = mR  V

Jadi momentum sudut adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R dan v.

Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak lurus.

V =  R

Sehingga L = m R v

L = m R R

L = m R2 

Arah L dam  adalah sama, maka:

L = m R2 

atau L = I 

karena  =

maka : L = m R2

L = I

Momentum sudut sebuah partikel, relatif terhadap titik tertentu adalah besaran vektor, dan secara vektor ditulis:

L = R  P = m (R  v)

Bila diturunkan, menjadi:

karena  = F  R

maka  =

Apabila suatu sistem mula-mula mempunyai memontum sudut total L, dan sistem mempunyai momentum sudut total akhir L’, setelah beberapa waktu, maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Perhatikan seorang penari balet yang menari sambil berputar dalam dua keadaan yang berbeda. Pada keadaan pertama, penari merentangkan tangan mengalami putaran yang lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan roknya berkibar-kibar dengan putaran yang cepat.

momentum sudut total awal = momentul sudut total akhir

L = L’

L1 + L2 = L1’ + L2’

Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai berikut.

I1 1 + I2 2 = I1’ 1’ + I2’ 2’

D. Energi Kinetik Rotasi

Misalkan sebuah sistem terdiri atas dua partikel yang massanya m1 dan m2 dan rotasi bergerak dengan kecepatan linier v1 dan v2, maka energi kinetik partikel ke 1 adalah ½ m1v12. Oleh karena itu, energi kinetik sistem dua partikel itu adalah (energi kinetik partikel ke 2 adalah ½ m2v22 ) :

EK = ½ m1 v12 + ½ m2v22

Dalam sistem benda tegar energi kinetiknya:

EK =  ½ mi vi2

Benda tegar yang berotasi terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut , kecepatan tiap partikel adalah vi =  . Ri , di mana Ri adalah jarak partikel ke sumbu rotasi.

jadi EK =  ½ mivi2

=  ½ mi Ri2 2

= ½ ( mi Ri2) 2

EK = ½ I . 2

karena L = I . 

maka EK = ½ L . 

atau EK = ½

Masalah umum di mana benda tegar berotasi terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massanya dan pada saat yang sama bergerak translasi relatif terhadap seorang pengamat. Karena itu, energi kinetik total benda dapat dituliskan sebagai berikut.

EK = ½ mv2 + ½ I . 2

Dalam hal ini hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah:

E = EK + EP = konstan

½ mv2 + ½ I 2 + mgh = konstan

Contoh Soal

Sebuah silinder pejal homogen dengan jari-jari R dan massa m, yang berada di puncak bidang miring, menggelinding menuruni bidang miring seperti tampak pada gambar. Buktikanlah kecepatan liniear pusat massa ketika tiba di dasar bidang miring adalah V =

1.

dengan menggunakan hukum kekekalan energi,
2.

dengan menggunakan hukum II dinamika rotasi!

Penyelesaian

Jawab:

v1 = 0, 1 = 0

s

h

a. Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2

(½ m v12 + ½ I 12) + mgh1 = ( ½ mv22 + ½ I 22) + mgh2

0 + 0 + mgh = ½ mv2 + ½ . ½ mR2 ( )2 + 0

gh = ½ v2 + ¼. R2 . v/r

gh = ¾ v2

v2 = gh

v = (terbukti)

1.

Hukum II dinamika rotasi

Σ F = m . a

m g . – ½ m . a = m . a

= a

a = .

v2 = vo2 + 2 a s

v2 = 02 + 2. . s

v2 = gh

v = (terbukti)

E. Menggelinding

Menggelinding adalah gabungan dari gerak translasi (titik pusat massa) dan gerak rotasi (penampang bentuk lingkaran).

F

F

f f

Penyelesaian kita tinjau dari masing-masing gerakan itu.

1.

Bila gaya F berada tepat di sumbu:

- gerak translasi berlaku : F – f = m . a

- gerak rotasi berlaku : f . R = I . 

di mana ( = )

1.

Bila gaya F berada di titik singgung :

- gerak translasi berlaku : F + f = m . a

- gerak rotasi berlaku : (F – f) . R = I .  ( = )

Katrol

1.

Sumbu dianggap licin tanpa gesekan

Massa = m

Jari-jari = R

Momen kelembaman = I

Gerak translasi beban :

F = m . a

+ T1 – m1g = m1a ………………….(i)

+ m2g – T2 = m2a ………………….(ii)

Gerak rotasi katrol :

 = I . 

(T2 – T1) R = I ……………….(iii)

1.

Pada puncak bidang miring

Gerak translasi beban :

F = m . a

+ T1 – m1g sin  – f = m1a …….(i)

+ m2g – T2 = m2a …………………..(ii)

Gerak rotasi katrol :

 = I . 

(T2 – T1) R = I ……………………(iii)

1.

S

atu ujung talinya terikat pada sumbu katrol

Gerak translasi beban :

F = m . a

mg – T = m . a ……………..(i)

Gerak rotasi katrol :

 = I . 

T . R = I . ……………..(ii)

Contoh Soal

1.

8.Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri atas katrol silinder yang masanya 4 kg (dianggap silinder pejal). Masa m1 dan m2 masing- masing 5 kg dan 3 kg. jari- jari katrol = 50 cm. Tentukan:

a. percepatan beban,

b. tegangan tali!

Penyelesaian:

a. Tinjau benda m1

Σ F = m1 . a

w1 – T1 = m1 . a

5 . 10 – T1 =5 . a

T1 = 50 – 5a

Tinjau benda m2:

Σ F = m2 . a

T2 – W2 = m2 . a

T2 – 3.10 = 3 . a

T2 = 30 + 3a

Tinjau katrol

Σ τ = I . 

T1 . R – T2 . R = ½ m . R2 a/R

T1 – T2 = ½ . 4 . 2

50 – 5a – 30 – 3a = 2a

20 = 10 . a

a = 2 m/s2

1.

T1 = 50 – 5 . 2 = 40 N

T2 = 30 + 3 . 2 = 36 N

2.

Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri dari katrol silinder yang licin tanpa gesekan Jika m1 = 50 kg dan m2 = 200 kg , g = 10 m/det2

Antara balok m1 dan bidang datar ada gaya gesek dengan μ = 0,1. massa katrol 10 kg. hitunglah:

1.

percepatan sistem,
2.

gaya tegang tali!

Penyelesaian:

a.

Tinjau m1:

Σ F = m . a

T1 – f1 = m . a

Ti – k . N = m1 . a

Ti – 0,1 . m1 . g = m1 . a

T1 – 0,1 50 . 10 = 50 . a

T1 = 50 + 50a

Tinjau m2:

Σ F = m . a

w2 – T2 = m2 . a

m2 . g – T2 = m2 . a

200 . 10 – T2 =200 . a

T2 = 2000 – 200 . a

Tinjau katrol:

Σ τ = I . 

T2 . R – T1 . R = ½ m . r2 . a/R

T2 – T1 = ½ m . a

2000 – 200a – 50 – 50 a = ½ . 10 . a

1950 = 255 a

a = = 7,65 m/s2

b. T1 = 50 + 50 . 7,65 = 432,5 N

T2 = 2000 – 200 . 7,65 = 470 N

1.

Dua buah benda yang massanya m1 dan m2 dihubungkan dengan seutas tali melalui sebuah katrol bermassa M dan berjari-jari R seperti ditunjukkan pada gambar. Permukaan meja licin. Tentukan percepatan masing- masing benda bila:

1.

katrol dapat dianggap licin sehingga tali meluncur pada katrol
2.

katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali
3.

katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali!

Penyelesaian:

1.

katrol licin (k = 0), T1 = T2 = T

Tinjau m1 : Σ F = m . a

T = m1 . a

T = 3 . a

Tinjau m2 : Σ F = m . a

w2 – T = m2 . a

m2 . g – T = m2 . a

5 . 10 – T = 5 . a

T = 50 – 5a

1.
*

T = T

3a = 50 – 5a

3a + 5a = 50

8a = 50

a = = 6,25 2

1.

katrol kasar

Katrol :

Σ τ = I . 

T2 . R – T1 . R = ½ mk . R2 . a/r

50 – 5a – 3a = ½ . 1 . a

50 = ½ a + 8a = 8,5 a

a = 50/8,5 = 5,88 2

1.
1.

Bidang miring dengan sudut kemiringan  = 30º. Koefisien gesek 0,2. Ujung bidang miring diperlengkapi katrol dengan massa 600 gram. Jari- jari 10 cm (dianggal silinder pejal). Ujung tali di atas bidang miring diberi beban 4 kg. Ujung tali yang tergantung vertikal diberi beban dengan massa 10 kg. Tentukanlah percepatan dan tegangan tali sistem tersebut!

Penyelesaian:

Tinjau m1 Σ F1 = m1 . a

T1 – fk – w1 sin 30 = m1 . a

T1 – k . N – m1 g sin 30 = m1 . a

T1 – k . m1 . g . cos 30 – m1 . g sin 30 = m1 . a

T1 – 0,2 . 4 . 10 . ½ – 4 . 10 . ½ = 4 . a

T1 – 4 – 20 = 4a

T1 = 26,928 + 4a

Tinjau m2 Σ F = m . a

w2 – T2 = m2 . a

w2 . g – T2 = m2 . a

10 .10 – T2 = 10 .a

T2 = 100 – 10a

Tinjau katrol Σ τ = I . 

T2 . R – T1 . R = ½ m . R2 . a/R

100 – 10a – 26,928 – 4a = ½ . 0,6 . a

100 – 26,928 = 0,3a + 10a + 4a

73,072 = 14,3 a

a = 5,1 m/s2

1.
1.
*

T1 = 26,928 + 4 . 5,1

T1 = 47,328 N

T2 = 100 – 10 . 5,1

= 49 N

1.
1.

Balok A ditarik oleh pemberat B dengan cara seperti pada gambar. Koefisien gesekan antara balok A dengan lantai = 0,5 . Jika massa A = m, massa B = 3m. Massa tali dan katrol diabaikan dan percepatan gravitasi g.

Tentukan:

1.

gaya tarik oleh tali
2.

percepatan B

Penyelesaian:

Waktu sama, jarak yang ditempuh A adalah 2x jarak tempuh B berarti

sA = 2 sB atau aA = 2 aB

Tinjau benda A

wB – 2T = mB . aB

3mg – 2T = 3m aB

aB =

Tinjau benda B

T – f = mA aA

T – 0,5 NB = m . aA

T – 0,5 m g = m aA

aA =

1.

gaya tarik oleh tali

Substitusi

aA = 2 aB

= 2 ()

3 T m – 1,5 m2 g = 6 m2 g – 4 T m

: m

T =

1.

percepatan B

aB =

=

= =

aB = g

1.
1.

Kesetimbangan Benda Tegar

Kesetimbangan adalah suatu kondisi benda dengan resultan gaya dan resultan momen gaya sama dengan nol.

Kesetimbangan biasa terjadi pada :

1.

Benda yang diam (statik), contoh : semua bangunan gedung, jembatan, pelabuhan, dan lain-lain.
2.

Benda yang bergerak lurus beraturan (dinamik), contoh : gerak meteor di ruang hampa, gerak kereta api di luar kota, elektron mengelilingi inti atom, dan lain-lain.

Benda tegar adalah benda yang tidak berubah bentuknya karena pengaruh gaya dari luar.

Kesetimbangan benda tegar dibedakan menjadi dua:

1.

Kesetimbangan partikel
2.

Kesetimbangan benda

1.

Kesetimbangan Partikel

Partikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan dan hanya mengalami gerak translasi (tidak mengalami gerak rotasi).

Syarat kesetimbangan partikel F = 0  Fx = 0 (sumbu X)

Fy = 0 (sumbu Y)

1.

Kesetimbangan Benda

Syarat kesetimbangan benda: Fx = 0, Fy = 0,  = 0

Momen gaya merupakan besaran vektor yang nilainya sama dengan hasil kali antara gaya dengan jarak dari titik poros arah tegak lurus garis kerja gaya.

Dirumuskan:  = F . d

Putaran momen gaya yang searah dengan putaran jarum jam disebut momen gaya positif, sedang yang berlawanan putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.

Momen kopel adalah momen gaya yang diakibatkan pasangan dua gaya yang sama besarnya dan arahnya berlawanan tetapi tidak segaris kerja.

Benda yang dikenai momen kopel akan bergerak rotasi terus menerus.

Contoh Soal

1.

Sebuah roda mamiliki massa 13 kg dan jari – jari 1 m. bertumpu dilantai dan bersandar pada anak tangga yang tingginya 0,6 m dari lantai seperti pada gambar. Tentukan gaya mendatar F minimum untuk mengungkit roda jika g = 10 m/s2!

Diketahui : m = 13 kg g = 10 m/s2

R = 1m

h = 0,6 m

ditanyakan : F min…..?

jawab : W = m .g

= 13.10

= 130 N

l1 = R- h

= 1 – 0,6

= 0,4

l2 = (R2 – l12)

= (12 – 0,42)

= (1 – 0,16)

= 0,84

 = 0

1 + 2 = 0

F . l1 – W . l2 = 0

F . 0,4 – 130 . 0,84 = 0

F = (1300,84)/0,4

= 3250,84 N

1.

Suatu batang pemikul AB panjangnya 90 cm (berat diabaikan) dipakai untuk memikul beban A dan B masing – masing beratnya 48 N dan 42 N. supaya batang setimbang, orang harus memikul (menumpu) di C. maka tentukan jarak AC!

Diketahui : batang pemikul AB = 90 cm

FA = 48 N

FB = 48 N

Ditanyakan : Jarak AC…?

Jawaban : misal jarak AC adalah x maka BC adalah 90 – x

 = 0

A + B = 0

-WA . lA + WB . lB = 0

-48x + 42 (90 – x) = 0

-48x + 3780 – 42x = 0

-90x = 3780

x = 3780/90 = 42 cm

1.

Titik Berat

Titik berat adalah titik pusat atau titik tangkap gaya berat dari suatu benda atau sistem benda. Titik berat atau pusat berat benda berfungsi sebagai titik yang terhadapnya gaya-gaya berat bekerja pada semua partikel benda itu sehingga akan menghasilkan resultan momen gaya nol. Titik berat merupakan titik di mana gaya berat bekerja secara efektif.

Titik berat menurut bentuk benda dibedakan menjadi 3 antara lain:

1.
1.

Benda berbentuk garis/kurva, contoh : kabel, lidi, benang, sedotan, dan lain-lain.
2.

Benda berbentuk bidang/luasan, contoh : kertas, karton, triplek, kaca, penggaris, dan lain-lain.
3.

Benda berbentuk bangunan/ruang, contoh : kubus, balok, bola, kerucut, tabung, dan lain-lain

1.

Benda berbentuk partikel massa

Apabila sistem benda terdiri dari beberapa benda partikel titik digabung menjadi satu, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Xo = =

Jadi zo (Xo,Yo)

Yo = =

1.

Benda berbentuk garis/kurva

Daftar titik beberapa benda berbentuk garis dapat dilihat dalam lampiran. Apabila sistem benda terdiri dari beberapa benda garis digabung menjadi satu, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Xo = =

Jadi zo (Xo,Yo)

Yo = =

1.

Benda berbentuk bidang/luasan

Daftar titik berat berbagai macam bidang beraturan dan bidang selimut benda dapat dilihat dalam lampiran. Apabila sistem benda terdiri dari bidang gabungan, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Xo = =

Jadi zo (Xo,Yo)

Yo = =

1.

Benda berbentuk volume/ruang (homogen)

Daftar titik berat berbagai macam benda ruang beraturan dapat dilihat dalam lampiran. Apabila sistem benda terdiri dari bidang gabungan benda, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Bila terbuat dari bahan-bahan yang sama (homogen)

Xo = =

Jadi zo (Xo,Yo)

Yo = =

1.

Bila terbuat dari bahan-bahan yang berbeda (heterogen)

Xo = =

Jadi zo (Xo,Yo)

Yo = = ]

keterangan : W = mg =  . V . g

karena S =  . g  W = S . V

1.
1.
*

= massa jenis (kg/m3)

S = berat jenis (N/m3)

Tabel titik berat bentuk teratur linier

Nama benda


Gambar benda


letak titik berat


keterangan

1. Garis lurus




x0 = l


z = titik tengah garis

2. Busur lingkaran




R = jari-jari lingkaran

3. Busur setengah

lingkaran




Tabel titik berat benda teratur berbentuk luas bidang homogen

Nama benda


Gambar benda


Letak titik berat


Keterangan

1. Bidang segitiga





y0 = t



t = tinggi

z = perpotongan

garis-garis berat

AD & CF

2.Jajaran genjang,

Belah ketupat,

Bujur sangkar

Persegi panjang




y0 = t



t = tinggi

z = perpotongan

diagonal AC dan

BD

3. Bidang juring

lingkaran




R = jari-jari lingkaran

4.Bidang setengah

lingkaran




R = jari-jari lingkaran

Tabel titik berat benda teratur berbentuk bidang ruang homogen

Nama benda


Gambar benda


Letak titik berat


Keterangan

1. Bidang kulit

prisma




z pada titik

tengah garis z1z2 y0 = l


z1 = titik berat

bidang alas

z2 = titik berat

bidang atas

l = panjang sisi

tegak.

2. Bidang kulit

silinder.

( tanpa tutup )




y0 = t

A = 2  R.t


t = tinggi

silinder

R = jari-jari

lingkaran alas

A = luas kulit

silinder

3. Bidang Kulit

limas




T’z = T’ T


T’T = garis

tinggi ruang

4. Bidang kulit

kerucut




zT’ = T T’


T T’ = tinggi

kerucut

T’ = pusat

lingkaran alas

5. Bidang kulit

setengah bola.




y0 = R


R = jari-jari

Tabel titik berat benda teratur berbentuk ruang, pejal homogen

Nama benda


Gambar benda


Letak titik berat


Keterangan

1. Prisma

beraturan.




z pada titik tengah garis z1z2

y0 = l

V = luas alas kali tinggi


z1 = titik berat

bidang alas

z2 = titik berat

bidang atas

l = panjang sisi

tegak

V = volume

prisma

2. Silinder Pejal




y0 = t

V =  R2 t


t = tinggi silinder

R = jari-jari

lingkaran alas

3. Limas pejal

beraturan




y0 = T T’

= t

V = luas alas x tinggi

3


T T’ = t = tinggi

limas beraturan

4. Kerucut pejal




y0 = t

V =  R2 t


t = tinggi kerucut

R = jari-jari lingkaran alas

5. Setengah bola

pejal




y0 = R


R = jari-jari bola.

1.

Macam-macam Kesetimbangan

Tiga macam keseimbangan benda seperti tampak

pada gambar di bawah ini.

(a) (b) (c)

Gambar (a) adalah contoh keseimbangan labil, gambar (b)

merupakan contoh keseimbangan stabil, dan gambar (c) adalah contoh keseimbangan netral.

Dibedakan menjadi 3:

1.
1.

Kesetimbangan labil/goyah

Adalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan/dialami benda dihentikan, maka benda tidak kembali ke posisi keseimbangan semula, tetapi bahkan memperbesar gangguan tersebut.

Contoh: Keseimbangan pada suatu benda dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda jika gangguan yang dialaminya menurunkan titik beratnya (energi potensialnya).

1.
1.

Kesetimbangan stabil/mantap

Adalah keseimbangan suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan pada benda dihentikan, benda akan kembali ke posisi keseimbangan semula.

Contoh: Keseimbangan stabil dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda jika gangguan yang dialaminya menaikkan titik beratnya (energi potensialnya).

1.
1.

Kesetimbangan indeferen/netral

Adalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan tidak mengubah posisi benda.

Contoh : Keseimbangan indiferen dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda dimana jika gangguan yang dialaminya tidak menyebabkan perubahan titik beratnya (energi potensialnya).

*

Contoh soal

1.

Tentukan koordinat titik berat susunan empat buah kawat berbentuk bangun seperti gambar di bawah ini.

6

4

2

2 3 4 5

Jawab

Dari gambar tersebut, panjang kawat, letak absis dan ordinat titik beratnya adalah:

*
o

kawat pertama:

L1 = 4, x1 = 2, dan y1 = 4.

*
o

kawat kedua:

L2 = 4, x2 = 2, dan y2 = 2.

*
o

kawat ketiga:

L3 = 4, x3 = 4, dan y3 = 4.

*
o

kawat keempat:

L4 = 2, x4 = 4, dan y4 = 2.

Xo = = = =

Yo = = = =

Jadi zo (Xo,Yo) = ( , )

*

Uji Kompetensi II

1.

Suatu batang AB yang homogen, massanya 30 kg, panjangnya 5 meter, menumpu pada lantai di A dan pada tembok vertikal di B. Jarak dari B ke lantai 3 meter; batang AB menyilang tegak Lurus garis potong antara lantai dan tembok vertikal. Berapa besarnya gaya K mendatar yang harus di berikan pada batang di A supaya batang tetap seimbang ? dan Hitung juga gaya tekan pada A dan B.

1.

2 benda A dan B masing–masing bermassa 5 kg dan 2 kg dihubungkan dengan sebuah tali dengan sebuah katrol bermassa 2 kg dan berjari-jari 10 cm . Hitung percepatan benda dan tegangan tali!

1.

Diketahui m1 = 4 kg, M = 1 kg, r = 1 cm, m2 = 2 kg. Hitung percepatan benda dan tegangan tali!

1.

Suatu sistem katrol digunakan untuk mempertahankan beban 49 N

seperti pada gambar. Bila massa katrol diabaikan dan sistem dalam

keadaan setimbang, tentukan besarnya tegangan tali pada kabel

paling atas (T) !

1.

Sebuah batang AB massanya 10 kg, panjangnya 6 meter. Ujung B diikat dengan tali dan ujung tali yang lain diikat di C pada sebuah tembok vertikal. Ujung A dari batang bertumpu pada tembok itu juga. Dalam sikap seimbang ini tali membuat sudut 300 dengan tembok. Tentukan :

a. Gaya tegangan tali.

b. Tekanan tembok di A

c. Sudut yang dibuat batang dengan tembok.

1.

Sebuah batang dengan berat 50 N seperti tampak pada gambar di bawah ini. Berapa besar tegangan dalam kabel pendukungnya dan berapa komponen dari gaya yang dikerjakan oleh engsel pada batang.

1.

Susunan benda pejal homogen

Yang terdiri dari silinder

berongga dan setengah bola

terletak di atas lantai seperti

tampak pada gambar.

Tentukan jarak titik berat

susunan benda tersebut dari lantai.

1.

Sebuah bangun berupa luasan memiliki bentuk dan ukuran seperti tampak pada gambar. Tentukan koordinat titik beratnya.

Y

8

4

X

0 4 8

1.

Sebuah bidang homogen tampak seperti pada gambar di bawah ini. Tentukan letak titik beratnya terhadap sisi alasnya.

1.

Sistem dalam gambar di bawah ini berada dalam keadaan seimbang. Jika berat balok W1 = 400 N dan koefisien gesek statik antara balok W1 dengan meja adalah 0,4. Tentukan berat balok W2,

dan gaya tegang tali T1 dan T2, dan T3.

60o

T3

W1

W2

*

Latihan Soal Akhir Bab III

Soal –soal Pilihan Ganda

Berilah tanda silang (x) pada pilihan jawaban yang benar!

1.

m = 3 kg

Sebuah benda bermassa 3 kg diikat dengan tali pada langit-langit. Berapakah tegangan pada tali tersebut ? (g = 9,8 m/det2)

1.

30,0 N
2.

29,4 N
3.

17,0 N
4.

14,7 N
5.

8,5 N

1.

 Tali

T

w

Sistem seperti terlihat pada gambar berada dalam keadaan seimbang. Berat batang dan tali diabaikan. Gaya-gaya yang berkerja pada sistem adalah T, F, dan w. Manakah di antara pernyataan berikut yang tidak benar?

1.

F2 + w2 = T2
2.

F = w tg 
3.

T = w sec 
4.

F dan w adalah komponen gaya T
5.

w = T cos 
1.

45

80,5 kg

Sebuah balok yang massanya 80,5 kg tergantung pada dua utas tali yang bersambungan seperti yang terlihat pada gambar. Jika percepatan gravitasi bumi g = 9,8 m/det2 maka besar tegangan pada tali horizontal A adalah …

1.

80,5 N
2.

385 N
3.

598,5 N
4.

643,7 N
5.

788,9 N

1.
1.

Sistem pada gambar di atas berada dalam keadaan seimbang. Berat balok A adalah 600 N dan koefisien gesekan static antara balok A dan meja adalah 0,2. Berat balok B adalah …

1.

20 N
2.

20 N
3.

40 N
4.

40 N
5.

40 N

1.
1.

Sebuah gaya F yang bekerja pada sebuah benda tegar dapat diganti dengan . . . .

1.

sebuah gaya lain yang sama besar, sejajar, dan searah tetapi mempunyai garis kerja yang berbeda dengan F.
2.

sebuah koppel
3.

sebuah gaya dan sebuah Koppel yang sebidang
4.

sebuah gaya atau sebuah koppel
5.

sebuah gaya yang sebidang atau dengan sebuah Koppel yang sebidang

1.
1.

Sebuah penggaris homogen mempunyai keseimbangan di titik tengahnya (P) pada suatu poros. Sebuah benda seberat 10 N digantung pada penggaris itu dalam berbagai posisi tetapi tidak pada titik P. Mana salah satu di antara momen-momen gaya terhadap titik P berikut ini yang tidak mungkin ?

1.

-1 Nm
2.

0 Nm
3.

+1 Nm
4.

+5 Nm
5.

+10 Nm

1.
1.

Seseorang memikul dua beban dengan tongkat homogen (AB) yang panjangnya 1,5 m. Beban yang satu di ujung A dan yang lainnya di ujung B. Beban di A 100 N dan di B 500 N. Supaya batang AB horizontal (seimbang), pundak (bahu) orang tersebut harus ditempatkan pada . . . .

1.

0,2 m dari B
2.

0,25 m dari B
3.

0,3 m dari B
4.

0,5 m dari B
5.

0,75 m dari B

1.
1.

Sebuah balok homogen (AB) memiliki panjang 5 m dan berat 100 N. Pada ujung A digantungkan beban 25 N. Di manakah balok itu harus ditumpu agar balok tetap seimbang ?

1.

1,5 m dari ujung A
2.

2 m dari ujung A
3.

2 m dari ujung B
4.

2,5 m dari ujung B
5.

3 m dari ujung A

1.
1.

Sumbu kedua roda muka dan sumbu kedua roda belakang sebuah truk yang bermassa 3000 kg, berjarak 3 m. Pusat massa truk terletak 2 m di belakang roda muka. Diandaikan percepatan gravitasi bumi adalah 10 m/detik2. Beban yang dipikul oleh kedua roda muka truk itu sama dengan …

1.

5000 newton
2.

10000 newton
3.

15000 newton
4.

20000 newton
5.

25000 newton

1.
1.

P R S Q

1 m

1 m

2 m

F

Pada diagram, PQ adalah sebuah batang homogen dengan panjang 4 m. Batang itu diam pada penopang di R (1 m dari P) dan S (1 m dari Q). Jika berat batang 150 N, berapakah minimum gaya ke bawah F yang dikerjakan di Q yang akan mengangkat batang lepas dari penopang di R?

1.

50 N
2.

75 N
3.

100 N
4.

125 N
5.

150 N

1.
1.

Sebuah bola pejal menggelinding dari keadaan diam menuruni bidang miring kasar yang membentuk sudut 30o dengan arah mendatar. Kelajuan linier bola ketika sudah menempuh lintasan sepanjang 3,5 m adalah … m/s

a. 6 b. 5 c. 4 d. 3 e. 2

1.
1.

Dari gambar di sampjng, massa katrol 300 gram. Katrol mula-mula

diam, kemudian dilepas sehingga berputar turun. Maka besar te-

gangan tali adalah … N

a. 1 b. 1,5 c. 2 d. 3,3 e. 4

1.
1.

Seorang penari balet berputar 3 putaran per detik dengan lengan direntangkan, saat itu momen inersianya 8 kg m2. jika kedua lengannya dirapatkan sehingga momen inersianya menjadi 2 kg m2, maka frekwensi putarannya menjadi …. putaran per detik.

a. 0,75 b. 3 c. 5,3 d. 8 e. 12

1.
1.

Dalam waktu 2 detik, sebuah roda yang berotasi murni, mengalami perubahan kecepatan dari 4 rad/s menjadi 20 rad/s secara beraturan. Sebuah titik terletak 30 cm dari poros roda. Besar percepatan tangensial yang dialami titik tersebut adalah … m/s2

a. 240 b. 26,7 c. 4,8 d. 2,4 e. 0,27

1.
1.

Silinder pejal dengan massa 4 kg ditarik pada pusat

F massanya dengan gaya 56 N sehingga silinder ber-

gerak sepanjang bidang miring ke atas, tanpa slip.

tg  = 4/3. Besarnya energi kinetik pada t = 2 detik, jika mula-mula silinder diam adalah ….

a. 234 J b. 243 J c. 324 J d. 342 J e. 432 J

1.
1.

Gerak menggelinding terjadi karena….

1.
1.

gaya yang diberikan jumlahnya tidak nol
2.

jumlah torsi tidak nol
3.

jumlah gaya dan jumlah torsi tidak nol
4.

hanya bias terjadi di bidang miring
5.

dapat terjadi di bidang yang licin sempurna

1.
1.

Gambar berikut adalah sebuah batang yang ditarik dengan gaya. Momen gaya terhadap titik O adalah….

1.

75 N
2.

50 N
3.

100 N
4.

100 N
5.

250 N

1.
1.

P

erhatikan gambar berikut ini. Bila massa batang AB diabaikan, maka besar dan titik tangkap gaya resultannya adalah….

1.
1.

30 N dan 0,7 m di kiri A
2.

30 N dan 0,7 m di kanan A
3.

30 N dan 1,0 m di kiri A
4.

30 N dan 2,0 m di kanan A
5.

30 N dan 2,0 m di kiri A

1.
1.

Sebuah benda begerak melingkar berubah beraturan dengan kelajuan anguler mula-mula 6 rad/s. Setelah 4 detik kelajuan angulernya 14 rad/s. Jika jari-jari 10 meter, maka percepatan linier yang dialami benda tersebut adalah …. m/s2

1.

280
2.

120
3.

60
4.

40
5.

20

1.
1.

Sebuah partikel A bermassa m diputar pada jari-jari R, dan partikel B bermassa 2 m diputar pada jari-jari . Jika kelajuan sudut putaran kedua partikel tersebut sama, maka perbandingan momentum anguler partikel A dan partikel B adalah : …

1.

2 : 1
2.

1 : 2
3.

3 : 1
4.

1 : 3
5.

1 : 1

1.
1.

Sebuah bola pejal menggelinding tanpa slip dengan kelajuan linier v, jika massa bola pejal 5 kg, maka energi kinetik bola pejal saat menggelinding tersebut adalah .…v2

1.

1,0
2.

2,5
3.

3,5
4.

5,0
5.

7,5

1.
1.

Massa katrol adalah 2 kg dan besar F = 122 newton, maka gaya tegangan tali T

adalah …newton

1.

100
2.

120
3.

122
4.

220
5.

242

1.
1.

Tangga homogen, panjang 10 m, massa 10 kg, bersandar pada dinding licin dan lantai kasar. Ujung atas tangga berada 8 meter dari lantai. Bila tangga tepat akan menggeser tentukan besarnya koefisien gesek statis lantai dengan tangga.

1.

0,80
2.

0,75
3.

0,60
4.

0,375
5.

0,30

1.
1.

F

Sebuah silinder pejal dengan diameter 1 meter berada pada bidang datar kasar didorong tepat pada pusat massanya dengan gaya F = 6 kali massa benda sehingga meng gelinding tanpa slip, maka percepatan liniernya adalah … (gaya dan massa bersatuan sesuai SI).

1.

1 m/s2
2.

2 m/s2
3.

3 m/s2
4.

4 m/s2
5.

5 m/s2

1.
1.

R

30o

P Q

Batang PQ horizontal beratnya 60 N menggunakan engsel pada titik P, sedang ujung Q diikat tali bersudut 30o ke dinding. (lihat gambar di atas) Pada titik Q digantungkan beban 40 N, maka besar gaya tegangan tali QR …

1.

30 N
2.

35 N
3.

70 N
4.

120 N
5.

140 N

*

Soal Uraian

Jawablah dengan benar !

1.

Sebuah bola pejal massa 5 kg berada di atas bidang miring

kasar, mula-mula dalam keadaaan diam, kemudian mengge-

linding tanpa slip (jika tg 37o = ¾ ) hitung energi kinetik

37o setelah bergerak 7 detik.

1.

Hitunglah T1 dan T2 dari susunan kesetimbangan di bawah ini.

1.

Hitunglah Gaya T pada susunan kesetimbangan ini.

1.

Massa A = massa B = 5 kg, jika tg 53o = 4/3 dan koe-

fisien gesekan antara benda A dan bidang miring 0,2

massa katrol 4 kg, Hitung percepatan sistem.

1.

Silinder pejal dengan massa 4 kg ditarik pada pusat

F massanya dengan gaya 56 N sehingga silinder ber-

gerak sepanjang bidang miring ke atas, tanpa slip.

tg  = 4/3. Tentukan besarnya energi kinetik pada

t = 2 detik, jika mula-mula silinder diam.

1.

Massa A = 8 kg, massa B = 6 kg, massa katrol = 4 kg, koefisien gesek bidang dengan benda A = 0,25. Hitung percepatan benda A !

1.

Sebuah silinder pejal homogen tingginya 2R, bagian bawahnya berongga dengan bentuk setengah bola. tentukan letak titik beratnya.

1.

Tentukan letak titik berat benda berupa bidang diukur dari alasnya.

1.

Susunan benda pejal homogen

yang terdiri dari silinder R

berongga dan setengah bola

terletak di atas lantai seperti

3R

tampak pada gambar.

Tentukan jarak titik berat

susunan benda tersebut dari lantai.

1.

Batang PQ beratnya 400 N dan panjangnya 4 m. Jarak tumpuan PA adalah 3m dan di titik A batang dapat berputar. Seseorang beratnya 600 N berjalan dari titik menuju Q. Berapa jarak maksimum dari titik P agar batang tetap seimbang (ujung batang P hampir terangkat).

P A

Q